这里写目录标题

什么是集合集合分类集合/子集,符号表示

子集，集合和相等真子集其它性质（传递）相关概念-命题

集合相等性质1 传递性康托悖论幂集（power）幂集的定义和性质

集合的运算并运算并运算性质其它

交运算交运算性质

分配律抽象差运算对称差对称差性质

补集 De Morgan 公式笛卡尔积n元组笛卡尔乘积性质

有穷集合的基数,一一对应映射

计数法则容斥原理(逐步淘汰)映射映射比较

映射的一半性质关系

集合论 - 哈尔滨工业大学

公式

什么是集合

一些可以区分的互不相同的元素构成的整体称为集合。

N

=

{

a

,

b

,

c

,

d

,

.

.

.

}

N=\lbrace a, b,c ,d,... \rbrace

N={a,b,c,d,...}

B

=

{

x

∣

P

(

x

)

}

,

P

(

x

)

为真构成的集合，

P

（

x

）是命题

B=\lbrace x |P(x)\rbrace, P(x) 为真构成的集合，P（x）是命题

B={x∣P(x)},P(x)为真构成的集合，P（x）是命题

集合概括表示：

B

=

{

x

∣

x

∈

A

,

s

.

a

g

e

≥

20

}

B =\lbrace x | x \in A, s.age \geq 20 \rbrace

B={x∣x∈A,s.age≥20} 其中

∈

\in

∈ 和

∉

\notin

∈/表示属于/不属于。

集合分类

1）无穷集合 2）有穷集合 3）空集合

∅

\emptyset

∅

集合/子集,符号表示

定义： 设A,B为集合，如果，A中的每一个元素都属于B，我们就称A是B的子集。 记做：

A

⊆

B

A \subseteq B

A⊆B

A

⊆

B

⟺

x

∈

A

,

x

∈

B

,

i

f

x

∉

B

，

t

h

e

n

x

∉

A

.

A \subseteq B \iff x \in A, x \in B, if x \notin B，then x \notin A.

A⊆B⟺x∈A,x∈B,ifx∈/B，thenx∈/A.

子集，集合和相等

i

f

A

⊆

B

,

t

h

e

n

x

∈

A

,

x

∈

B

if \; A \subseteq B, \;then \quad x \in A, x \in B

ifA⊆B,thenx∈A,x∈B

真子集

如果集合A是 集合 B的 子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集（proper subset）。 如果A包含于B，且A不等于B，就说集合A是集合B的真子集。 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的 元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。 记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）

其它性质（传递）

A

⊆

B

，

B

⊆

C

,

t

h

e

n

A

⊆

C

A \subseteq B ， B \subseteq C, then\; A\subseteq C

A⊆B，B⊆C,thenA⊆C 显然，空集是任何集合的子集。

相关概念-命题

设p,q是命题，

p

→

q

p \to q

p→q， 条件和结论：

i

f

p

t

h

e

n

,

q

if \; p \; then , \; q

ifpthen,q 前提为真，才会有后面的结论。 记住：复合命题，当且仅当，条件为真，结论为假，则命题为假

集合相等

定义：

A

=

B

i

f

A

，

B

是集合，

i

f

A

⊆

B

,

且

B

⊆

A

,

则

A

与

B

相等

A = B\\if \;A，B \;是集合，if A \subseteq B, \; 且B \subseteq A,\;则A与B相等

A=BifA，B是集合，ifA⊆B,且B⊆A,则A与B相等

性质1 传递性

A

,

B

,

C

为集合且

A

=

B

,

B

=

C

,

t

h

e

n

A

=

C

A,B,C为集合且A =B, B=C,then A=C

A,B,C为集合且A=B,B=C,thenA=C

康托悖论

集族：集合的集合 所有集合的集合 亦称“最大基数悖论”，是 集合论 悖论之一。 由集合论创始人、德国数学家 康托尔 于1899年提出。 考虑一切 集合 所构成的集合V，设它的基数是λ。 因为V是最大的集合，所以λ应是最大的 基数，但由集合论的 康托尔定理 知：每一个集合的幂集具有比该集更大的基数，于是V的幂集将有比V更大的基数，这与λ是 最大基数 矛盾

幂集（power）

幂集是数学中的一个概念，指的是一个集合所有可能子集的集合，包括这个集合本身和空集。对于任何集合A，A的幂集表示为P(A)，包含了A的所有子集。幂集是集合论中的一个重要概念，它与集合的基数（元素数量）密切相关。

幂集的定义和性质

设

A

是集合，那么存在幂集

P

(

A

)

=

{

B

∣

B

⊆

A

}

，或者

P

(

A

)

=

2

A

设A 是集合，那么存在幂集P(A) =\lbrace B| B \subseteq A \rbrace，或者P(A)=2^A

设A是集合，那么存在幂集P(A)={B∣B⊆A}，或者P(A)=2A

幂集的定义非常直观：对于任何集合A，我们可以通过考虑A的所有可能子集来构造幂集。例如，如果集合A = {a, b}，那么A的幂集P(A)将包括以下子集：{∅, {a}, {b}, {a, b}}。这里，∅表示空集，它是任何集合的子集。

幂集的一个关键性质是它的基数总是原集合基数的指数。具体来说，如果集合A有n个元素，那么它的幂集将有2^n个元素。这是因为每个元素可以选择是否出现在子集中，每个选择都对应两种可能性（存在或不存在），因此总的组合数是2的n次方。 想一想空集的幂集

2

∅

2^\emptyset

2∅是什么？

集合的运算

并运算

设

A

,

B

为集合，

A

⋃

B

=

{

x

∣

x

∈

A

,

o

r

x

∈

B

}

x

∈

A

⋃

B

⟺

x

∈

A

o

r

x

∈

B

x

∉

A

⋃

B

⟺

x

∉

A

a

n

d

x

∉

B

设A, B为集合，A \bigcup B =\lbrace x|x \in A,or \;x \in B\rbrace \\ x \in A \bigcup B \iff x \in A\;or \;x\in B \\x \notin A \bigcup B \iff x \notin A \;and \;x \notin B

设A,B为集合，A⋃B={x∣x∈A,orx∈B}x∈A⋃B⟺x∈Aorx∈Bx∈/A⋃B⟺x∈/Aandx∈/B

并运算性质

A

,

B

,

C

是集合，

t

h

e

n

,

A

⋃

A

=

A

A

⋃

B

=

B

⋃

A

(

A

⋃

B

)

⋃

C

=

A

⋃

(

B

⋃

C

)

∅

⋃

A

=

A

A

⋃

B

=

B

⟺

A

⊆

B

A,B,C是集合，then, \\ A \bigcup A=A \\ A \bigcup B=B \bigcup A \\ (A \bigcup B) \bigcup C = A \bigcup (B \bigcup C) \\ \empty \bigcup A = A \\A \bigcup B=B \iff A \subseteq B \\

A,B,C是集合，then,A⋃A=AA⋃B=B⋃A(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C)∅⋃A=AA⋃B=B⟺A⊆B

其它

A

⋃

B

⋃

C

是有意义的

A \bigcup B \bigcup C 是有意义的

A⋃B⋃C是有意义的，那么， 设A_1,A_2,a_3,… A_N是集合，那么它们的并集是:

⋃

i

=

1

n

A

i

=

A

1

⋃

A

2

⋃

.

.

.

⋃

A

n

\;\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \bigcup A_2\bigcup...\bigcup A_n

⋃i=1n​Ai​=A1​⋃A2​⋃...⋃An​ 那么， 1.

x

∈

⋃

i

=

1

n

A

i

⟺

∃

i

,

1

≤

i

≤

n

,

x

∈

A

i

;

x \in \bigcup_{i=1}^{n} A_i \iff \exists i, 1 \leq i \leq n, x \in A_i;

x∈⋃i=1n​Ai​⟺∃i,1≤i≤n,x∈Ai​; 2.

⋃

i

=

1

∞

A

i

=

A

1

⋃

A

2

.

.

.

.

.

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i=A_1 \bigcup A_2.....

⋃i=1∞​Ai​=A1​⋃A2​..... 3.

x

∈

⋃

ζ

∈

I

∞

A

ζ

⟺

∃

ζ

∈

I

,

x

∈

A

ζ

x \in \bigcup_{\zeta \in I}^{\infty} A_\zeta \iff \exists \; \zeta \in I,x \in A_\zeta

x∈⋃ζ∈I∞​Aζ​⟺∃ζ∈I,x∈Aζ​

交运算

推荐一本书《可怕的对称》

设

A

,

B

为集合，

A

⋂

B

=

{

x

∣

x

∈

A

,

a

n

d

x

∈

B

}

x

∈

A

⋂

B

⟺

x

∈

A

a

n

d

x

∈

B

x

∉

A

⋂

B

⟺

x

∉

A

o

r

x

∉

B

设A, B为集合，A \bigcap B =\lbrace x|x \in A,and \;x \in B\rbrace \\x \in A \bigcap B \iff x \in A \; and \; x \in B \\x \notin A \bigcap B \iff x \notin A \;or \; x \notin B

设A,B为集合，A⋂B={x∣x∈A,andx∈B}x∈A⋂B⟺x∈Aandx∈Bx∈/A⋂B⟺x∈/Aorx∈/B

交运算性质

设A，B，C 是集合，则 1.

A

⋂

A

=

A

A \bigcap A=A

A⋂A=A 2

A

⋂

B

=

B

⋂

A

A \bigcap B = B \bigcap A

A⋂B=B⋂A 3.

∅

⋂

B

=

∅

\empty \bigcap B = \empty

∅⋂B=∅ 4.

A

⋂

(

B

⋂

C

)

=

(

A

⋂

B

)

⋂

C

A \bigcap (B \bigcap C)=(A \bigcap B)\bigcap C

A⋂(B⋂C)=(A⋂B)⋂C 5.

A

⋂

B

=

A

⟺

A

⊆

B

A \bigcap B =A \iff A \subseteq B

A⋂B=A⟺A⊆B

那么

A

⋂

B

⋂

C

A \bigcap B \bigcap C

A⋂B⋂C有意义，所以， 6.

⋂

i

=

1

n

A

i

=

A

1

⋂

A

2

.

.

.

.

.

⋂

A

n

\bigcap_{i=1}^{n} A_i=A_1 \bigcap A_2..... \bigcap A_n

⋂i=1n​Ai​=A1​⋂A2​.....⋂An​ 7.

x

∈

⋂

i

=

1

n

A

n

⟺

∀

i

,

1

≤

i

≤

n

,

x

∈

A

i

x \in \bigcap_{i=1 }^{n} A_n\iff \forall i ,1 \leq i \leq n,x \in A_i

x∈⋂i=1n​An​⟺∀i,1≤i≤n,x∈Ai​ 8.

I

⊆

N

,

x

∈

⋂

ζ

=

1

A

ζ

⟺

∀

ζ

∈

I

,

x

∈

A

ζ

I \subseteq N, x \in \bigcap_{\zeta=1 } A_\zeta\iff \forall \zeta \in I, x \in A_\zeta

I⊆N,x∈⋂ζ=1​Aζ​⟺∀ζ∈I,x∈Aζ​

分配律

1.

A

⋂

(

⋃

ζ

∈

I

A

ζ

)

=

⋃

ζ

∈

I

(

A

⋂

A

ζ

)

A \bigcap ( \bigcup_{\zeta \in I} A_\zeta) = \bigcup_{\zeta \in I} (A \bigcap A_\zeta)

A⋂(⋃ζ∈I​Aζ​)=⋃ζ∈I​(A⋂Aζ​) 1.

A

⋃

(

⋂

ζ

∈

I

A

ζ

)

=

⋂

ζ

∈

I

(

A

⋃

A

ζ

)

A \bigcup ( \bigcap_{\zeta \in I} A_\zeta) = \bigcap_{\zeta \in I} (A \bigcup A_\zeta)

A⋃(⋂ζ∈I​Aζ​)=⋂ζ∈I​(A⋃Aζ​)

集合里面最大的一个问题集合相等的问题。 设A,B为集合，若A包含于B,且B包含于A,则A=B 3.

A

⋃

(

⋂

ζ

∈

I

A

ζ

)

=

⋂

ζ

∈

I

(

A

⋃

A

ζ

)

A \bigcup (\bigcap_{\zeta \in I}A_\zeta) = \bigcap_{\zeta \in I}( A \bigcup A_\zeta)

A⋃(⋂ζ∈I​Aζ​)=⋂ζ∈I​(A⋃Aζ​)

抽象

(…)

差运算

假设A,B属于集合，那么

i

x

∈

A

a

n

d

x

∉

B

⟺

x

∈

A

\

B

ix \in A \; and \; x \notin B \iff x \in A\backslash B

ix∈Aandx∈/B⟺x∈A\B 定理：

A

⋂

(

B

\

C

)

=

(

A

⋂

B

)

\

(

A

⋂

C

)

A \bigcap (B\backslash C)=(A \bigcap B)\backslash(A \bigcap C)

A⋂(B\C)=(A⋂B)\(A⋂C) 证明：

设

x

∈

A

⋂

(

B

\

C

)

,

则，

x

∈

A

,

x

∈

B

\

C

,

t

h

e

n

,

x

∈

A

,

x

∈

B

,

x

∉

C

,

所以，

x

∈

A

⋂

B

,

x

∉

A

⋂

C

设x \in A \bigcap (B \backslash C),则，x \in A,x \in B \backslash C,then, x \in A , x \in B, x \notin C,\\ 所以，x \in A \bigcap B, x \notin A \bigcap C

设x∈A⋂(B\C),则，x∈A,x∈B\C,then,x∈A,x∈B,x∈/C,所以，x∈A⋂B,x∈/A⋂C

对称差

因为差运算不对称，所以出现了对称差。 异或定义

0

⨁

1

=

1

0 \bigoplus 1=1

0⨁1=1

0

⨁

0

=

0

0 \bigoplus 0=0

0⨁0=0

1

⨁

1

=

0

1 \bigoplus 1=0

1⨁1=0

1

⨁

0

=

1

1 \bigoplus 0=1

1⨁0=1 定义 设A，B为集合，则

(

A

\

B

)

⋃

(

B

\

A

)

(A \backslash B) \bigcup (B \backslash A)

(A\B)⋃(B\A)称之为A与B的集合差，记做

A

Δ

B

A \Delta B

AΔB

对称差性质

1.

A

Δ

B

=

B

Δ

A

A \Delta B =B \Delta A

AΔB=BΔA 2.

A

Δ

(

B

Δ

C

)

=

(

A

Δ

B

)

Δ

C

A \Delta (B \Delta C) =(A \Delta B )\Delta C

AΔ(BΔC)=(AΔB)ΔC 3.

A

Δ

A

=

∅

A \Delta A =\empty

AΔA=∅ 4.

A

Δ

∅

=

A

A \Delta \empty =A

AΔ∅=A 5

A

⋂

(

B

Δ

C

)

=

(

A

⋂

B

)

Δ

（

A

⋂

C

）

A \bigcap (B \Delta C) = (A \bigcap B)\Delta （A \bigcap C）

A⋂(BΔC)=(A⋂B)Δ（A⋂C）

题目：

A

Δ

X

=

B

,

求

X

?

A \Delta X = B,求X?

AΔX=B,求X?

补集 De Morgan 公式

笛卡尔积

推荐一本书《方法导论》 序对，n元组 设S为集合，x,y,a ,b 属于S,（a,b）为序对。 序对相等

(

x

，

y

)

=

(

a

,

b

)

⟺

x

=

a

,

y

=

b

(x，y) =(a,b) \iff x=a,y=b

(x，y)=(a,b)⟺x=a,y=b

笛卡尔积定义：

设

A

,

B

⊆

S

,

则，集合

{

(

x

,

y

)

∣

x

∈

A

,

y

∈

B

}

,

称之为，

A

与

B

的笛卡尔积，记做

A

×

B

设A, B \subseteq S,则，集合 \lbrace (x,y)| x \in A,y \in B \rbrace ,称之为，A与B的笛卡尔积，记做A \times B

设A,B⊆S,则，集合{(x,y)∣x∈A,y∈B},称之为，A与B的笛卡尔积，记做A×B 比如：

A

=

{

3

,

5

}

,

B

=

{

a

,

c

}

,

那么，

A

×

B

=

{

(

3

,

a

)

,

(

3

,

c

)

,

(

5

,

a

)

,

(

5

,

c

)

}

≠

B

×

A

A=\lbrace 3,5 \rbrace ,B=\lbrace a ,c \rbrace,那么，A \times B=\lbrace (3,a),(3,c),(5,a), (5,c) \rbrace \not= B \times A

A={3,5},B={a,c},那么，A×B={(3,a),(3,c),(5,a),(5,c)}=B×A

n元组

a

,

b

,

c

∈

S

,

(

a

,

b

,

c

)

三元组，（

a

1

,

a

2

,

a

3

,

.

.

.

,

a

n

）

n

元组

a ,b,c \in S, (a,b,c) 三元组，（a_1,a_2,a_3,...,a_n）n元组

a,b,c∈S,(a,b,c)三元组，（a1​,a2​,a3​,...,an​）n元组

笛卡尔定义：

设

A

1

,

A

2

,

.

.

.

,

A

n

为集序列，其笛卡尔积为：

A

1

×

A

2

×

.

.

.

×

A

3

=

{

(

a

1

,

a

2

,

.

.

.

,

a

n

)

∣

a

i

∈

A

i

,

1

≤

i

≤

n

}

.

=

∏

i

=

1

n

A

i

设A_1,A_2,...,A_n为集序列，其笛卡尔积为：\\ A_1 \times A_2 \times ... \times A_3=\lbrace(a_1,a_2,...,a_n)|a_i \in A_i, 1 \leq i \leq n\rbrace. =\prod_{i=1}^n A_i

设A1​,A2​,...,An​为集序列，其笛卡尔积为：A1​×A2​×...×A3​={(a1​,a2​,...,an​)∣ai​∈Ai​,1≤i≤n}.=i=1∏n​Ai​

笛卡尔乘积性质

1.

A

×

(

B

⋃

C

)

=

(

A

×

B

)

⋃

(

A

×

C

)

A \times (B \bigcup C) = (A \times B) \bigcup(A \times C)

A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C) 2.

A

×

(

B

⋂

C

)

=

(

A

×

B

)

⋂

(

A

×

C

)

A \times (B \bigcap C) = (A \times B) \bigcap(A \times C)

A×(B⋂C)=(A×B)⋂(A×C) 3.

A

×

(

B

\

C

)

=

(

A

×

B

)

\

(

A

×

C

)

A \times (B \backslash C) = (A \times B) \backslash (A \times C)

A×(B\C)=(A×B)\(A×C) 4.

2

S

不封闭也就是会产生新的集合

2 ^S 不封闭也就是会产生新的集合

2S不封闭也就是会产生新的集合

有穷集合的基数,一一对应

∣

S

∣

=

2

∣

S

∣

|S|=2^{|S|}

∣S∣=2∣S∣ 定义， 设X为集合，

i

f

X

=

∅

if X=\empty

ifX=∅,则X是有穷的，且其基数为0，记做

∣

x

∣

=

0

，

i

f

∃

n

∈

N

,

使得

X

与

{

1

,

2

,

.

.

.

,

n

}

|x|=0， if \;\exists n \in N, 使得X与\lbrace 1,2,...,n\rbrace

∣x∣=0，if∃n∈N,使得X与{1,2,...,n}间存在一一对应关系，则X也是有穷的,且其基数为

∣

x

∣

=

n

|x|=n

∣x∣=n

映射

定义：

设

X

,

Y

为集合，如果存在一个法则

f

,

使得在法则

f

下，

对

X

中的每个元素

x

，在

Y

中有一个唯一的元素

y

,

一一对应，则称，

f

为

x

到

y

的映射

记为：

f

:

x

→

y

设X,Y为集合，如果存在一个法则f,使得在法则f下，\\对X中的每个元素x，在Y中有一个唯一的元素y,一一对应，则称，f为x到y的映射 \\ 记为：f:x \to y

设X,Y为集合，如果存在一个法则f,使得在法则f下，对X中的每个元素x，在Y中有一个唯一的元素y,一一对应，则称，f为x到y的映射记为：f:x→y 映射分为3类： 单设

设

f

:

x

→

y

,

x

1

,

x

2

∈

x

,

i

f

x

1

≠

x

2

,

t

h

e

n

f

(

x

1

)

≠

f

(

x

2

)

设 f:x \to y,x_1,x_2 \in x, if \; x_1\not=x_2,then \; f(x_1) \not=f(x_2)

设f:x→y,x1​,x2​∈x,ifx1​=x2​,thenf(x1​)=f(x2​) 满射

设

f

:

x

→

y

，

∀

y

∈

Y

,

∃

x

∈

X

,

使得

f

(

x

)

=

y

设 f:x \to y，\forall y \in Y,\exists x \in X,使得f(x)=y

设f:x→y，∀y∈Y,∃x∈X,使得f(x)=y 即使单设又是满射称之为双射

设

X

,

Y

为集合，

∣

x

∣

=

m

，

∣

y

∣

=

n

，，

f

:

x

→

y

1.

f

是单设，

m

≤

n

.

2.

f

是满射

m

≥

n

,

3.

f

是双射

m

=

n

4.

f

:

x

→

x

,

f

单

⟺

f

满

=

f

双

5.

∣

{

f

∣

f

:

x

→

y

}

∣

=

Y

x

=

n

m

6.

∣

{

f

∣

f

:

x

→

y

,

f

是单射

}

∣

=

C

m

n

.

n

!

设X,Y为集合，|x|=m，|y|=n，，f:x \to y \\ 1. f是单设，m \le n. \\2. f是满射 m \ge n, \\ 3.f是双射m=n \\ 4.f:x \to x, f单 \iff f_满=f_双 \\5.|\lbrace f|f:x \to y \rbrace |=Y ^x=n^m \\ 6.|\lbrace f|f:x \to y,f 是单射\rbrace|=C_m^n .n!

设X,Y为集合，∣x∣=m，∣y∣=n，，f:x→y1.f是单设，m≤n.2.f是满射m≥n,3.f是双射m=n4.f:x→x,f单⟺f满​=f双​5.∣{f∣f:x→y}∣=Yx=nm6.∣{f∣f:x→y,f是单射}∣=Cmn​.n!

计数法则

设A，B，C为集合， 1.

A

⋂

B

=

∅

,

那么

∣

A

⋃

B

∣

=

∣

A

∣

+

∣

B

∣

A \bigcap B=\empty, 那么 |A \bigcup B| = |A| +|B|

A⋂B=∅,那么∣A⋃B∣=∣A∣+∣B∣ 2.

∣

A

×

B

∣

=

∣

A

∣

×

∣

B

∣

|A \times B|=|A| \times |B|

∣A×B∣=∣A∣×∣B∣

容斥原理(逐步淘汰)

∣

A

⋃

B

∣

=

∣

A

∣

+

∣

B

∣

−

∣

A

⋂

B

∣

|A \bigcup B| = |A| +|B| -|A \bigcap B|

∣A⋃B∣=∣A∣+∣B∣−∣A⋂B∣

∣

A

⋃

B

⋃

C

∣

=

∣

A

∣

+

∣

B

∣

+

∣

C

∣

−

∣

A

⋂

B

∣

−

∣

A

⋂

C

∣

−

∣

B

⋂

C

∣

+

∣

A

⋂

B

⋂

C

∣

|A \bigcup B \bigcup C|=|A|+|B|+|C|-|A \bigcap B| -|A \bigcap C|-|B \bigcap C| +|A \bigcap B \bigcap C|

∣A⋃B⋃C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A⋂B∣−∣A⋂C∣−∣B⋂C∣+∣A⋂B⋂C∣

映射

定义1，

设

X

,

Y

为集合，

f

⊆

X

×

Y

,

如果满足，

1.

∀

x

∈

X

，

∃

y

∈

Y

，使得（

x

,

y

)

∈

f

2.

f

（

x

,

y

1

)

∈

f

,

(

x

,

y

2

)

∈

f

,

t

h

e

n

y

1

=

y

2

则称，

f

为

x

到

y

的映射，记做

f

:

x

→

y

.

i

f

∀

x

∈

X

,

y

=

f

(

x

)

,

称为

x

在

f

下的象，

x

是原象，

y

=

(

x

)

f

设X,Y为集合，f \subseteq X \times Y,如果满足，\\1.\forall x \in X，\exists y \in Y，使得（x,y) \in f \\ 2.f（x,y_1) \in f, (x,y_2) \in f, then\; y_1=y_2 \\则称， f为x到y的映射，记做f:x \to y.\\ if \; \forall x \in X,y=f(x),称为x在f下的象，x是原象，y=(x)f

设X,Y为集合，f⊆X×Y,如果满足，1.∀x∈X，∃y∈Y，使得（x,y)∈f2.f（x,y1​)∈f,(x,y2​)∈f,theny1​=y2​则称，f为x到y的映射，记做f:x→y.if∀x∈X,y=f(x),称为x在f下的象，x是原象，y=(x)f 映射运算 恒等映射

I

x

:

x

→

X

，

∀

x

∈

X

,

I

x

(

x

)

=

x

.

I_x:x \to X，\forall x \in X, I_x(x)=x.

Ix​:x→X，∀x∈X,Ix​(x)=x. 部分映射：

f

:

x

→

y

,

A

⊆

X

,

f

:

A

→

Y

,

f

在

A

上的限制

f:x\to y,A \subseteq X,f:A \to Y, \;f在A上的限制

f:x→y,A⊆X,f:A→Y,f在A上的限制（也就是子集的映射）

映射比较

设

f

,

g

:

x

→

Y

,

i

f

∀

x

∈

X

,

f

(

x

)

=

g

(

x

)

,

t

h

e

n

,

f

和

g

相等。

设f,g:x \to Y,if \; \forall x \in X,f(x)=g(x),then,f和g相等。

设f,g:x→Y,if∀x∈X,f(x)=g(x),then,f和g相等。

映射的一半性质

关系

定义： 设X,Y为集合，

R

:

X

×

Y

→

{

y

e

s

,

n

o

}

称，

R

为

X

与

Y

之间的二元关系，

∀

(

x

,

y

)

∈

X

×

Y

,

i

f

R

(

x

,

y

)

=

y

e

s

,

则称

x

与

y

符合关系，记做

x

R

y

,

i

f

R

x

,

y

)

=

n

o

，则称，

x

与

y

不符合关系，记做

R:X \times Y \to \lbrace yes, no \rbrace 称，R为X与Y之间的二元关系，\forall (x,y) \in X \times Y ,if \; R(x,y)=yes,则称x与y符合关系，记做xRy, \; if \; Rx,y)=no，则称，x与y 不符合关系，记做

R:X×Y→{yes,no}称，R为X与Y之间的二元关系，∀(x,y)∈X×Y,ifR(x,y)=yes,则称x与y符合关系，记做xRy,ifRx,y)=no，则称，x与y不符合关系，记做

定义2：

设

X

,

Y

为集合，

R

⊆

X

×

Y

,

则称

R

为

X

与

Y

之间的一个二元关系，

i

f

(

x

,

y

)

∈

R

t

h

e

n

,

x

R

y

设X,Y为集合，R \subseteq X \times Y,则称R为X与Y之间的一个二元关系，if(x,y) \in R then, xRy

设X,Y为集合，R⊆X×Y,则称R为X与Y之间的一个二元关系，if(x,y)∈Rthen,xRy

关系的大小比较