积分计算器 — 分步骤

输入 x 的函数，分步骤获得其不定积分（原函数）。涵盖多项式、指数、基本三角函数、1/x 以及针对 e^(ax+b) 等形式的线性代换。每个结果都以积分常数 +C 结尾。

支持的法则

逆幂法则 — \(∫x^{n} dx = x^{n+1}/(n+1) + C\) 求解 → x³

1/x 法则 — \(∫1/x dx = \ln|x| + C\) 求解 → 1/x

指数 — \(∫e^{x} dx = e^{x} + C\)

一般底数 a^x — \(∫a^{x} dx = a^{x} / \ln(a) + C\)

三角函数 — \(∫\sin(x) dx = -\cos(x) + C\) and \(∫\cos(x) dx = \sin(x) + C\)

和法则 — \(∫(f+g) dx = ∫f + ∫g\)

线性代换 — \(∫e^{ax+b} dx = e^{ax+b}/a + C\) 求解 → e^(2x+1)

试试这些例题

\(∫(3x^{2}+5x-7) dx\) — 多项式 — 逐项使用幂法则

∫sin(3x) dx — 带线性参数的三角函数

\(∫(2x+1)^{3} dx\) — 线性表达式的幂

\(∫e^{4x} dx\) — 带线性参数的指数

\(∫1/(2x+3) dx\) — 线性表达式的倒数

学习理论

阅读完整指南： 积分基本法则. 或前往 求导计算器.

积分应用：面积与累积量

两曲线 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 之间的面积（\(f \geq g\) 时）为 \(\int_a^b [f(x)-g(x)]dx\)。物理意义：速度函数的积分是位移，加速度函数的积分是速度变化量。检验：面积结果应为正数；若为负，检查积分上下限或函数大小关系是否搞反。

积分是在累计变化量，而不只是套公式

不定积分问的是：哪一类函数求导后会得到现在这个表达式？因此答案通常是一族函数，而不是单独一个函数。

\[

\int 2x\,dx=x^2+C

\]

常数 \(C\) 不是装饰。因为 \(x^2\)、\(x^2+5\)、\(x^2-8\) 的导数都是 \(2x\)。如果题目给出初始条件，再用它确定 \(C\) 的具体值。

检查。 对你的积分结果再求导。若导数回不到原来的被积函数，就说明幂次、系数或常数处理有误。

先判断是不定积分还是定积分

积分题的第一步不是马上套公式，而是读清楚题目要什么。如果只写 \(\int f(x)\,dx\)，答案是一族原函数，最后必须带上常数 \(C\)。如果题目给出上下限，例如 \(\int_0^2 f(x)\,dx\)，它要求的是一个数值结果，不在最后保留 \(+C\)。

\[

\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C,\qquad

\int_0^2 x^2\,dx=\frac{8}{3}

\]

最稳的检查方法是反向求导。算出 \(\frac{x^3}{3}+C\) 后，对它求导应当回到 \(x^2\)。如果回不去，通常是幂次加一、系数相除或复合函数内层系数漏掉了。

换元积分最容易漏掉微分系数

看到 \(\int (2x+1)^5 dx\) 时，不能只把外层幂次加一。因为内层 \(2x+1\) 的导数是 2，结果中必须把这个系数除回来。把 \(u=2x+1\) 写在旁边，目的就是让 \(du=2dx\) 这个调整不被忽略。

\[

\int (2x+1)^5 dx=\frac{(2x+1)^6}{12}+C

\]

检查方法很直接：对结果求导。 \(\frac{(2x+1)^6}{12}\) 求导得到 \((2x+1)^5\)，说明外层幂法则和内层系数都处理对了。若结果写成 \(\frac{(2x+1)^6}{6}\)，再求导会多出一个 2。

有上下限时换元也要改端点

定积分换元不能只换被积函数。若 \(u=2x+1\)，那么 \(x=0\) 对应 \(u=1\)，\(x=2\) 对应 \(u=5\)。端点不改，最后代入的变量就混在一起。带上下限的问题可以转到 定积分计算器，基础原函数规则可对照 微积分计算器 和 换元积分。